斯图尔特定理 斯图尔特定理-内容,斯图尔特定理-证明

几何学中,斯图尔特定理表示了一个三角形中切氏线(cevian,连结一个顶点和对边上任意一点的线段)的长度和三角形三边长的关系。它由苏格兰数学家Matthew Stewart在1746年发表,故名。

莫雷定理_斯图尔特定理 -内容

斯图尔特定理 斯图尔特定理-内容,斯图尔特定理-证明
如图,设a,b和 c是三角形的边长,d是切氏线的长度;该线段将a边分为长度为m和n的两段。那么,Stewart定理说明


mb^2+nc^2=a(d^2+mn).


阿波罗尼乌斯定理(Apollonius' theorem)是它的一种特殊情况,d是三角形的中线。

莫雷定理_斯图尔特定理 -证明

设θ是m和d的夹角,θ'是n和d的夹角。θ+θ'=π,cos θ′ = −cos θ。那么,根据余弦定理:


c^2=m^2+d^2-2mdcosθ,


b^2=n^2+d^2-2ndcosθ'=n^2+d^2+2ndcosθ;


第一式两边乘以n,第二式两边乘以m,相加消去参数θ,即得


mb^2+nc^2=nm^2+mn^2+(m+n)d^2=a(d^2+mn)。

莫雷定理_斯图尔特定理 -应用

本定理可以用于各种三角形内切氏线的求长,而无论其位置。取定理的特殊情况,即可轻易求出三角形的中线长、高线长、角平分线长。

  

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