而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(作者:黃志華)

本文附簡體字版

而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(作者:黃志華)

附實體智力遊戲迷的個人讀後感於本文末

原文網址:http://blogold.chinaunix.net/u/14418/showart_2490817.html

  昨天前赴香港數學教育學會的周年聚會,會上有梁子傑老師的演講。其中說到一個實例:該如何教一般學生有關二次三項代數式的因式分解方法。筆者聽了以後,有點慚愧,事緣過去一直只是死記著十字相乘法來處理這類因式分解,箇中的原理,是並無深究過。

  除了用十字相乘法,也有些高手會直接拆項。比如說是6x223x20,他可以憑經驗以至直覺拆成6x28x15x20,然後便有2x(3x4)5(3x4),於是下一步便可分解成功,得到(2x5)(3x4)。但對於初學因式分解的學生,最不明白的是,如何決定23x須拆成8x15x而不是別的6x17x10x13x之類的呢?

  經梁子傑老師解說後,筆者明白了,拆項法和十字相乘法的原理都是一樣的,而拆項法應該是更基本的,至於如何拆項,其實也能有跡可尋的,只需了解其原理便行。

  且從最基本的公式說起:

 acadbcbd

a(cd)b(cd)

(ab) (cd)

請注意,acadbcbd式子中,首尾兩項(紅色)跟居中兩項(藍色)都是齊備了abcd四個數的。由此可知,首尾兩項的積,跟居中兩項的積是相等的,都是abcd。據這個原理,就可以幫助我們判斷二次三項式應如何拆項來作因式分解。

  用回6x223x20作例子。這種二次三項式,居中的兩項因能相加而變成一項,但首尾兩項卻沒有變動過,將其系數相乘,是6×20120,根據剛才所說的原理,現在我們要尋找兩個數□和■,二者相乘同樣是120,二者相加須是23。實際做法是把120分解成兩數相乘,看看哪一對數恰好滿足之前所說的兩個條件:□+■=23;□×■=120。以試錯的方法,最後總會找到,僅有815這對數能同時滿足那兩個條件。換句話說,我們只有把23x拆成8x15x,這個二次三項式才能順利分解。

  十字相乘法(如下圖)乃是上述拆項法的改良,實質上也是要重新配置(尋找)出abcd四個系數,但方法上精妙多了。梁老師說,學生掌握了拆項的原理後,可以嘗試同時使用拆項法及十字相乘法,這樣,會較易明白十字相乘法的使用竅門。梁老師把分解二次三項式的功力分成四個級別,「初階」是明白拆項的原理並能實際使用,「進階」是拆項與十字相乘法一起使用而無困難,「高階」是能僅是用十字相乘法就可以分解二次三項式。「超級」的,又或是手中無劍心中亦無劍的境界,是連十字相乘法都不必用,見到某個二次三項式便能夠直接寫出因式分解的答案!

  無奈的是,現時香港的數學教學只要求學生掌握十字相乘法,認為這是最基本的,誰知這是二次三項式分解中的「高階」方法,一點都不基本。事實上,想起小女以前中學時便始終感到十字相乘法難以掌握,而那時筆者也是知其然而不知其所以然,如果當時明白了這些,應可幫助她好好地掌握吧。


[讀後感]

高階方法vs基本原理
筆者發現越是「高端」的人士,越能明白「基本」(原理)的重要性的。越能欣賞基本原理及有關理論。可是社會上包括不少理科教師,他們並不擁抱「基本」,只求「高階」方法,甚至誤認便捷方法就是好,實在是愚不可及的學習態度來的。
筆者有一個親身而很感愜意的經歷,就是筆者曾將九連環的原理,打從一條筆直的直線開始講起,與一位澳洲來的智力玩具發明及設計者分享,他本身具有數學碩士及工程學博士學位的,他大讚筆者的講解,認為很新穎,可以寫成一本書的。其實當時筆者是從(九)連環的「盤古初開」的階段講起的,與經典九連環相比,傳統的這個玩兒(現在坊間正在廣泛流傳的),其實屬「高階」產物,因此筆者見識過很多人都很自滿地自以為已經明白了九連環,甚至將那些有關數列公式盡擺出來,其實,還不知道這些「高階」的東西,對絕大部分人來說,都是沒有必要的,如果要真正弄懂九連環,應該要由九連環的胎兒時期(未成形之前)開始研究才對。
更「基本」的東西往往為人忽略,其實「基本」很多時候蘊藏大量智慧,要留待有智慧的人去發掘的。世上不少創新發明往往都是通過掌握事物的基本原理再往上(或橫向)探索,才能發展出來的。
Re: 「高階」是能僅是用十字相乘法就可以分解二次三項式。「超級」的,又或是手中無劍心中亦無劍的境界,是連十字相乘法都不必用,見到某個二次三項式便能夠直接寫出因式分解的答案!

首先,正好像很多玩扭計骰的人,無論遇到是三階抑或是其他變化版的「扭計骰」(內地人稱「魔方」),立即就去找屬「高階」的「攻略」或解法甚麼的。在下也親歷類似例子,他們當中不乏「人才」一看有關「解法」,就好快將任何新穎的「扭計骰」破解出來的。

試過遇到有這方面「才能」的一位青年,多次向他詢問有關其周邊原理或相關「扭計骰」的關係的時候,他就最多只能比較一下,各款「扭計骰」的難易程度的高低,其他的如重要的Mechanicalpuzzle趣味性探討,他就一概表現得很無奈的,答不出有意義的話來。這些得謂「高階解法」和有關「高階扭計骰」其實對這類人的智商,相信是有所幫助和提高的,不過在數理和解題等科學智慧等方面,應該幫助微乎其微的。不知這算不算是「高分低能」的其中一個典型例子呢!

至於,原文梁先生提到的甚麼「超級」,在下倒認為有些不妥之處的。如果依這個邏輯推廣一下,就好知道問題所在。例如,那些在十秒以內能還原「扭計骰」的豈不是要拜他們為「扭計骰神仙」。那些神童輝之類的人,運算速度就够「神乎其技」了,其實在絕大部分數學家的角度,「神童輝」簡直是「一文不值」的,更可能是糟蹋了數學作為一講求美的演繹這一部分,數學學習與研究終究和「變魔術」應該分開來看代的。


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而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(作者:黄志华)

附實體智力遊戲迷的個人讀後感於本文末

原文网址:http://blogold.chinaunix.net/u/14418/showart_2490817.html

  昨天前赴香港数学教育学会的周年聚会,会上有梁子杰老师的演讲。其中说到一个实例:该如何教一般学生有关二次三项代数式的因式分解方法。笔者听了以后,有点惭愧,事缘过去一直只是死记着十字相乘法来处理这类因式分解,个中的原理,是并无深究过。

  除了用十字相乘法,也有些高手会直接拆项。比如说是6x223x20,他可以凭经验以至直觉拆成6x28x15x20,然后便有2(3x4)5(3x4),于是下一步便可分解成功,得到(2x5) (3x4)。但对于初学因式分解的学生,最不明白的是,如何决定23x须拆成8x15x而不是别的6x17x10x13x之类的呢?

  经梁子杰老师解说后,笔者明白了,拆项法和十字相乘法的原理都是一样的,而拆项法应该是更基本的,至于如何拆项,其实也能有迹可寻的,只需了解其原理便行。

  且从最基本的公式说起:

 acadbcbd

a(cd)b(cd)

(ab) (cd)

请注意,acadbcbd式子中,首尾两项(红色)跟居中两项(蓝色)都是齐备了abcd四个数的。由此可知,首尾两项的积,跟居中两项的积是相等的,都是abcd。据这个原理,就可以帮助我们判断二次三项式应如何拆项来作因式分解。

  用回6x223x20作例子。这种二次三项式,居中的两项因能相加而变成一项,但首尾两项却没有变动过,将其系数相乘,是6×20120,根据刚才所说的原理,现在我们要寻找两个数□和■,二者相乘同样是120,二者相加须是23。实际做法是把120分解成两数相乘,看看哪一对数恰好满足之前所说的两个条件:□+■=23;□×■=120。以试错的方法,最后总会找到,仅有815这对数能同时满足那两个条件。换句话说,我们只有把23x拆成8x15x,这个二次三项式才能顺利分解。

  十字相乘法(如下图)乃是上述拆项法的改良,实质上也是要重新配置(寻找)出abcd四个系数,但方法上精妙多了。梁老师说,学生掌握了拆项的原理后,可以尝试同时使用拆项法及十字相乘法,这样,会较易明白十字相乘法的使用窍门。梁老师把分解二次三项式的功力分成四个级别,「初阶」是明白拆项的原理并能实际使用,「进阶」是拆项与十字相乘法一起使用而无困难,「高阶」是能仅是用十字相乘法就可以分解二次三项式。「超级」的,又或是手中无剑心中亦无剑的境界,是连十字相乘法都不必用,见到某个二次三项式便能够直接写出因式分解的答案!

  无奈的是,现时香港的数学教学只要求学生掌握十字相乘法,认为这是最基本的,谁知这是二次三项式分解中的「高阶」方法,一点都不基本。事实上,想起小女以前中学时便始终感到十字相乘法难以掌握,而那时笔者也是知其然而不知其所以然,如果当时明白了这些,应可帮助她好好地掌握吧。


[读后感]
高阶方法vs基本原理
笔者发现越是「高端」的人士,越能明白「基本」(原理)的重要性的。越能欣赏基本原理及有关理论。
可是社会上包括不少理科教师,他们并不拥抱「基本」,只求「高阶」方法,甚至误认便捷方法就是好,实在是愚不可及的学习态度来的。
笔者有一个亲身而很感惬意的经历,就是笔者曾将九连环的原理,打从一条笔直的直线开始讲起,与一位澳洲来的智力玩具发明及设计者分享,他本身具有数学硕士及工程学博士学位的,他大赞笔者的讲解,认为很新颖,可以写成一本书的。其实当时笔者是从()连环的「盘古初开」的阶段讲起的,与经典九连环相比,传统的这个玩儿(现在坊间正在广泛流传的),其实属「高阶」产物,因此笔者见识过很多人都很自满地自以为已经明白了九连环,甚至将那些有关数列公式尽摆出来,其实,还不知道这些「高阶」的东西,对绝大部分人来说,都是没有必要的,如果要真正弄懂九连环,应该要由九连环的胎儿时期(未成形之前)开始研究才对。
更「基本」的东西往往为人忽略,其实「基本」很多时候蕴藏大量智能,要留待有智慧的人去发掘的。世上不少创新发明往往都是通过掌握事物的基本原理再往上(或横向)探索,才能发展出来的。

Re: 「高阶」是能仅是用十字相乘法就可以分解二次三项式。「超级」的,又或是手中无剑心中亦无剑的境界,是连十字相乘法都不必用,见到某个二次三项式便能够直接写出因式分解的答案!


首先,正好像很多玩扭计骰的人,无论遇到是三阶抑或是其它变化版的「扭计骰」(内地人称「魔方」),立即就去找属「高阶」的「攻略」或解法甚么的。在下也亲历类似例子,他们当中不乏「人才」一看有关「解法」,就好快将任何新颖的「扭计骰」破解出来的。


而今才真懂因式分解十字相乘法的原理(作者:黃志華)
试过遇到有这方面「才能」的一位青年,多次向他询问有关其周边原理或相关「扭计骰」的关系的时候,他就最多只能比较一下,各款「扭计骰」的难易程度的高低,其它的如重要的Mechanicalpuzzle趣味性探讨,他就一概表现得很无奈的,答不出有意义的话来。这些得谓「高阶解法」和有关「高阶扭计骰」其实对这类人的智商,相信是有所帮助和提高的,不过在数理和解题等科学智慧等方面,应该帮助微乎其微的。不知这算不算是「高分低能」的其中一个典型例子呢!


至于,原文梁先生提到的甚么「超级」,在下倒认为有些不妥之处的。如果依这个逻辑推广一下,就好知道问题所在。例如,那些在十秒以内能还原「扭计骰」的岂不是要拜他们为「扭计骰神仙」。那些神童辉之类的人,运算速度就够「神乎其技」了,其实在绝大部分数学家的角度,「神童辉」简直是「一文不值」的,更可能是糟蹋了数学作为一讲求美的演绎这一部分,数学学习与研究终究和「变魔术」应该分开来看代的。

  

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