半正定矩阵 半正定矩阵的特征值

对一般的矩阵来说,要把矩阵化成标准型才可以这样说。一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实二次型f(x1,x2,...,xn)对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0

  定义 一个n×n的实对称矩阵M正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都有zTMz> 0。其中zT 表示z的转置。  对于复数的情况,定义则为:一个n×n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z,都有z*Mz> 0。其中z* 表示z的共轭转置。由于M是埃尔米特矩阵,经计算可知,对于任意的复向量zz*Mz必然是实数,从而可以与0比较大小。因此这个定义是自洽的。

具有对称矩阵A的二次型f=x’Ax

  如果对任何非零向量x,都有x’Ax≥0(或x’Ax≤0)成立,且有非零向量x0,使x0'Ax0=0,则称f为半正定(半负定)二次项,矩阵A称为半正定矩阵(半负定矩阵)

判定一个矩阵半正定

  1、对于半正定矩阵来说,相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。

  2、半正定矩阵

  定义:设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0,就称A为半正定矩阵。

  2.4. A∈Mn(K)是半正定矩阵的充要条件是:A的所有顺序主子式大于或等于零。

  

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