爱华网第4章概率统计
本章介绍MATLAB在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于MatlabR12ToolboxStats中。
4.1随机数的产生
4.1.1二项分布的随机数据的产生
命令参数为N，P的二项随机数据
函数binornd
格式R=binornd(N,P)%N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数，N、P大小相同。
R=binornd(N,P,m)%m指定随机数的个数，与R同维数。
R=binornd(N,P,m,n)%m,n分别表示R的行数和列数
例4-1
>>R=binornd(10,0.5)
R=
3
>>R=binornd(10,0.5,1,6)
R=
813764
>>R=binornd(10,0.5,[1,10])
R=
6846753562
>>R=binornd(10,0.5,[2,3])
R=
758
656
>>n=10:10:60;
>>r1=binornd(n,1./n)
r1=
210112
>>r2=binornd(n,1./n,[16])
r2=
012131
4.1.2正态分布的随机数据的产生
命令参数为μ、σ的正态分布的随机数据
函数normrnd
格式R=normrnd(MU,SIGMA)%返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。
R=normrnd(MU,SIGMA,m)%m指定随机数的个数，与R同维数。
R=normrnd(MU,SIGMA,m,n)%m,n分别表示R的行数和列数
例4-2
>>n1=normrnd(1:6,1./(1:6))
n1=
2.16502.31343.02504.08794.86076.2827
>>n2=normrnd(0,1,[15])
n2=
0.05911.79710.26410.8717-1.4462
>>n3=normrnd([123;456],0.1,2,3)%mu为均值矩阵
n3=
0.92991.93612.9640
4.12465.05775.9864
>>R=normrnd(10,0.5,[2,3])%mu为10，sigma为0.5的2行3列个正态随机数
R=
9.783710.06279.4268
9.167210.143810.5955
4.1.3常见分布的随机数产生
常见分布的随机数的使用格式与上面相同
表4-1随机数产生函数表
函数名 | 调用形式 | 注释 |
Unifrnd | unifrnd(A,B,m,n) | [A,B]上均匀分布(连续)随机数 |
Unidrnd | unidrnd(N,m,n) | 均匀分布（离散）随机数 |
Exprnd | exprnd(Lambda,m,n) | 参数为Lambda的指数分布随机数 |
Normrnd | normrnd(MU,SIGMA,m,n) | 参数为MU，SIGMA的正态分布随机数 |
chi2rnd | chi2rnd(N,m,n) | 自由度为N的卡方分布随机数 |
Trnd | trnd(N,m,n) | 自由度为N的t分布随机数 |
Frnd | frnd(N1,N2,m,n) | 第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数 |
gamrnd | gamrnd(A,B,m,n) | 参数为A,B的分布随机数 |
betarnd | betarnd(A,B,m,n) | 参数为A,B的分布随机数 |
lognrnd | lognrnd(MU,SIGMA,m,n) | 参数为MU,SIGMA的对数正态分布随机数 |
nbinrnd | nbinrnd(R,P,m,n) | 参数为R，P的负二项式分布随机数 |
ncfrnd | ncfrnd(N1,N2,delta,m,n) | 参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数 |
nctrnd | nctrnd(N,delta,m,n) | 参数为N，delta的非中心t分布随机数 |
ncx2rnd | ncx2rnd(N,delta,m,n) | 参数为N，delta的非中心卡方分布随机数 |
raylrnd | raylrnd(B,m,n) | 参数为B的瑞利分布随机数 |
weibrnd | weibrnd(A,B,m,n) | 参数为A,B的韦伯分布随机数 |
binornd | binornd(N,P,m,n) | 参数为N,p的二项分布随机数 |
geornd | geornd(P,m,n) | 参数为p的几何分布随机数 |
hygernd | hygernd(M,K,N,m,n) | 参数为M，K，N的超几何分布随机数 |
Poissrnd | poissrnd(Lambda,m,n) | 参数为Lambda的泊松分布随机数 |
4.1.4通用函数求各分布的随机数据
命令求指定分布的随机数
函数random
格式y=random('name',A1,A2,A3,m,n)%name的取值见表4-2；A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列
例4-3产生12（3行4列）个均值为2，标准差为0.3的正态分布随机数
>>y=random('norm',2,0.3,3,4)
y=
2.35672.05241.82352.0342
1.98871.94402.65502.3200
2.09822.21771.95912.0178
4.2随机变量的概率密度计算
4.2.1通用函数计算概率密度函数值
命令通用函数计算概率密度函数值
函数pdf
格式Y=pdf(name，K，A)
Y=pdf(name，K，A，B)
Y=pdf(name，K，A，B，C)
说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表4-2。
表4-2常见分布函数表
name的取值 | 函数说明 | ||
'beta' | 或 | 'Beta' | Beta分布 |
'bino' | 或 | 'Binomial' | 二项分布 |
'chi2' | 或 | 'Chisquare' | 卡方分布 |
'exp' | 或 | 'Exponential' | 指数分布 |
'f' | 或 | 'F' | F分布 |
'gam' | 或 | 'Gamma' | GAMMA分布 |
'geo' | 或 | 'Geometric' | 几何分布 |
'hyge' | 或 | 'Hypergeometric' | 超几何分布 |
'logn' | 或 | 'Lognormal' | 对数正态分布 |
'nbin' | 或 | 'NegativeBinomial' | 负二项式分布 |
'ncf' | 或 | 'NoncentralF' | 非中心F分布 |
'nct' | 或 | 'Noncentralt' | 非中心t分布 |
'ncx2' | 或 | 'NoncentralChi-square' | 非中心卡方分布 |
'norm' | 或 | 'Normal' | 正态分布 |
'poiss' | 或 | 'Poisson' | 泊松分布 |
'rayl'  | 或 | 'Rayleigh' | 瑞利分布 |
't' | 或 | 'T' | T分布 |
'unif' | 或 | 'Uniform' | 均匀分布 |
'unid' | 或 | 'DiscreteUniform' | 离散均匀分布 |
'weib' | 或 | 'Weibull' | Weibull分布 |
例如二项分布：设一次试验，事件A发生的概率为p，那么，在n次独立重复试验中，事件A恰好发生K次的概率P_K为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p)
例4-4计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.6578的密度函数值。
解：>>pdf('norm',0.6578,0,1)
ans=
0.3213
例4-5自由度为8的卡方分布，在点2.18处的密度函数值。
解：>>pdf('chi2',2.18,8)
ans=
0.0363
4.2.2专用函数计算概率密度函数值
命令二项分布的概率值
函数binopdf
格式binopdf(k,n,p)%等同于，p—每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数
命令泊松分布的概率值
函数poisspdf
格式poisspdf(k,Lambda)%等同于
命令正态分布的概率值
函数normpdf(K,mu,sigma)%计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值
专用函数计算概率密度函数列表如表4-3。
表4-3专用函数计算概率密度函数表
函数名 | 调用形式 | 注释 |
Unifpdf | unifpdf(x,a,b) | [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在X=x处的函数值 |
unidpdf | Unidpdf(x,n) | 均匀分布（离散）概率密度函数值 |
Exppdf | exppdf(x,Lambda) | 参数为Lambda的指数分布概率密度函数值 |
normpdf | normpdf(x,mu,sigma) | 参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值 |
chi2pdf | chi2pdf(x,n) | 自由度为n的卡方分布概率密度函数值 |
Tpdf | tpdf(x,n) | 自由度为n的t分布概率密度函数值 |
Fpdf | fpdf(x,n1,n2) | 第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值 |
gampdf | gampdf(x,a,b) | 参数为a,b的分布概率密度函数值 |
betapdf | betapdf(x,a,b) | 参数为a,b的分布概率密度函数值 |
lognpdf | lognpdf(x,mu,sigma) | 参数为mu,sigma的对数正态分布概率密度函数值 |
nbinpdf | nbinpdf(x,R,P) | 参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值 |
Ncfpdf | ncfpdf(x,n1,n2,delta) | 参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值 |
Nctpdf | nctpdf(x,n,delta) | 参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值 |
ncx2pdf | ncx2pdf(x,n,delta) | 参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值 |
raylpdf | raylpdf(x,b) | 参数为b的瑞利分布概率密度函数值 |
weibpdf | weibpdf(x,a,b) | 参数为a,b的韦伯分布概率密度函数值 |
binopdf | binopdf(x,n,p) | 参数为n,p的二项分布的概率密度函数值 |
geopdf | geopdf(x,p) | 参数为p的几何分布的概率密度函数值 |
hygepdf | hygepdf(x,M,K,N) | 参数为M，K，N的超几何分布的概率密度函数值 |
poisspdf | poisspdf(x,Lambda) | 参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值 |
例4-6绘制卡方分布密度函数在自由度分别为1、5、15的图形
>>x=0:0.1:30;
>>y1=chi2pdf(x,1);plot(x,y1,':')
>>holdon
>>y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')
>>y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')
>>axis([0,30,0,0.2])%指定显示的图形区域
则图形为图4-1。
4.2.3常见分布的密度函数作图
1．二项分布
例4-7
>>x=0:10;
>>y=binopdf(x,10,0.5);
>>plot(x,y,'+')
2．卡方分布
例4-8
>>x=0:0.2:15;
>>y=chi2pdf(x,4);
>>plot(x,y)
图4-2
3．非中心卡方分布
例4-9
>>x=(0:0.1:10)';
>>p1=ncx2pdf(x,4,2);
>>p=chi2pdf(x,4);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
4．指数分布
例4-10
>>x=0:0.1:10;
>>y=exppdf(x,2);
>>plot(x,y)
图4-3
5．F分布
例4-11
>>x=0:0.01:10;
>>y=fpdf(x,5,3);
>>plot(x,y)
6．非中心F分布
例4-12
>>x=(0.01:0.1:10.01)';
>>p1=ncfpdf(x,5,20,10);
>>p=fpdf(x,5,20);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
图4-4
7．Γ分布
例4-13
>>x=gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);
>>y=gampdf(x,100,10);
>>y1=normpdf(x,1000,100);
>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')
8．对数正态分布
例4-14
>>x=(10:1000:125010)';
>>y=lognpdf(x,log(20000),1.0);
>>plot(x,y)
>>set(gca,'xtick',[0300006000090000120000])
>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…
'$90,000','$120,000'))
图4-5
9．负二项分布
例4-15
>>x=(0:10);
>>y=nbinpdf(x,3,0.5);
>>plot(x,y,'+')
10．正态分布
例4-16
>>x=-3:0.2:3;
>>y=normpdf(x,0,1);
>>plot(x,y)
图4-6
11．泊松分布
例4-17
>>x=0:15;
>>y=poisspdf(x,5);
>>plot(x,y,'+')
12．瑞利分布
例4-18
>>x=[0:0.01:2];
>>p=raylpdf(x,0.5);
>>plot(x,p)
图4-7
13．T分布
例4-19
>>x=-5:0.1:5;
>>y=tpdf(x,5);
>>z=normpdf(x,0,1);
>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')
14．威布尔分布
例4-20
>>t=0:0.1:3;
>>y=weibpdf(t,2,2);
>>plot(y)
图4-8
4.3随机变量的累积概率值(分布函数值)
4.3.1通用函数计算累积概率值
命令通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和（累积概率值）
函数cdf
格式
cdf('name',K,A)
cdf('name',K,A,B)
cdf('name',K,A,B,C)
说明返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见表4-1常见分布函数表
例4-21求标准正态分布随机变量X落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：标准正态数值表）。
解：
>>cdf('norm',0.4,0,1)
ans=
0.6554
例4-22求自由度为16的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率
>>cdf('chi2',6.91,16)
ans=
0.0250
4.3.2专用函数计算累积概率值（随机变量的概率之和）
命令二项分布的累积概率值
函数binocdf
格式binocdf(k,n,p)%n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。
命令正态分布的累积概率值
函数normcdf
格式normcdf()%返回F(x)=的值，mu、sigma为正态分布的两个参数
例4-23设X~N（3,22）
（1）求
（2）确定c，使得
解（1）p1=
p2=
p3=
p4=
则有：
>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)
p1=
0.5328
>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)
p2=
0.9995
>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)
p3=
0.6853
>>p4=1-normcdf(3,3,2)
p4=
0.5000
专用函数计算累积概率值函数列表如表4-4。
表4-4专用函数的累积概率值函数表
函数名 | 调用形式 | 注释 |
unifcdf | unifcdf(x,a,b) | [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
unidcdf | unidcdf(x,n) | 均匀分布（离散）累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
expcdf | expcdf(x,Lambda) | 参数为Lambda的指数分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
normcdf | normcdf(x,mu,sigma) | 参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
chi2cdf | chi2cdf(x,n) | 自由度为n的卡方分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
tcdf | tcdf(x,n) | 自由度为n的t分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
fcdf | fcdf(x,n1,n2) | 第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值 |
gamcdf | gamcdf(x,a,b) | 参数为a,b的分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
betacdf | betacdf(x,a,b) | 参数为a,b的分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
logncdf | logncdf(x,mu,sigma) | 参数为mu,sigma的对数正态分布累积分布函数值 |
nbincdf | nbincdf(x,R,P) | 参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
ncfcdf | ncfcdf(x,n1,n2,delta) | 参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值 |
nctcdf | nctcdf(x,n,delta) | 参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
ncx2cdf | ncx2cdf(x,n,delta) | 参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值 |
raylcdf | raylcdf(x,b) | 参数为b的瑞利分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
weibcdf | weibcdf(x,a,b) | 参数为a,b的韦伯分布累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
binocdf | binocdf(x,n,p) | 参数为n,p的二项分布的累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
geocdf | geocdf(x,p) | 参数为p的几何分布的累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
hygecdf | hygecdf(x,M,K,N) | 参数为M，K，N的超几何分布的累积分布函数值 |
poisscdf | poisscdf(x,Lambda) | 参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值F(x)=P{X≤x} |
说明累积概率函数就是分布函数F(x)=P{X≤x}在x处的值。
4.4随机变量的逆累积分布函数
MATLAB中的逆累积分布函数是已知，求x。
逆累积分布函数值的计算有两种方法
4.4.1通用函数计算逆累积分布函数值
命令icdf计算逆累积分布函数
格式icdf('name',P,a1,a2,a3)
说明返回分布为name，参数为，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表4.1相同。
如果，则
例4-24在标准正态分布表中，若已知=0.975，求x
解：>>x=icdf('norm',0.975,0,1)
x=
1.9600
例4-25在分布表中，若自由度为10，=0.975，求临界值Lambda。
解：因为表中给出的值满足，而逆累积分布函数icdf求满足的临界值。所以，这里的取为0.025，即
>>Lambda=icdf('chi2',0.025,10)
Lambda=
3.2470
例4-26在假设检验中，求临界值问题：
已知：，查自由度为10的双边界检验t分布临界值
>>lambda=icdf('t',0.025,10)
lambda=
-2.2281
4.4.2专用函数-inv计算逆累积分布函数
命令正态分布逆累积分布函数
函数norminv
格式X=norminv(p,mu,sigma)%p为累积概率值，mu为均值，sigma为标准差，X为临界值，满足：p=P{X≤x}。
例4-27设，确定c使得。
解：由得，=0.5，所以
>>X=norminv(0.5,3,2)
X=
3
关于常用临界值函数可查下表4-5。
表4-5常用临界值函数表
函数名 | 调用形式 | 注释 |
unifinv | x=unifinv(p,a,b) | 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x） |
unidinv | x=unidinv(p,n) | 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值 |
expinv | x=expinv(p,Lambda) | 指数分布逆累积分布函数 |
norminv | x=Norminv(x,mu,sigma) | 正态分布逆累积分布函数 |
chi2inv | x=chi2inv(x,n) | 卡方分布逆累积分布函数 |
tinv | x=tinv(x,n) | t分布累积分布函数 |
finv | x=finv(x,n1,n2) | F分布逆累积分布函数 |
gaminv | x=gaminv(x,a,b) | 分布逆累积分布函数 |
betainv | x=betainv(x,a,b) | 分布逆累积分布函数 |
logninv | x=logninv(x,mu,sigma) | 对数正态分布逆累积分布函数 |
nbininv | x=nbininv(x,R,P) | 负二项式分布逆累积分布函数 |
ncfinv | x=ncfinv(x,n1,n2,delta) | 非中心F分布逆累积分布函数 |
nctinv | x=nctinv(x,n,delta) | 非中心t分布逆累积分布函数 |
ncx2inv | x=ncx2inv(x,n,delta) | 非中心卡方分布逆累积分布函数 |
raylinv | x=raylinv(x,b) | 瑞利分布逆累积分布函数 |
weibinv | x=weibinv(x,a,b) | 韦伯分布逆累积分布函数 |
binoinv | x=binoinv(x,n,p) | 二项分布的逆累积分布函数 |
geoinv | x=geoinv(x,p) | 几何分布的逆累积分布函数 |
hygeinv | x=hygeinv(x,M,K,N) | 超几何分布的逆累积分布函数 |
poissinv | x=poissinv(x,Lambda) | 泊松分布的逆累积分布函数 |
例4-28公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1%设计的。设男子身高X（单位：cm）服从正态分布N（175，36），求车门的最低高度。
解：设h为车门高度，X为身高
求满足条件的h，即，所以
>>h=norminv(0.99,175,6)
h=
188.9581
例4-29卡方分布的逆累积分布函数的应用
在MATLAB的编辑器下建立M文件如下：
n=5;a=0.9;%n为自由度，a为置信水平或累积概率
x_a=chi2inv(a,n)；%x_a为临界值
x=0:0.1:15;yd_c=chi2pdf(x,n)；%计算的概率密度函数值，供绘图用
plot(x,yd_c,'b'),holdon%绘密度函数图形
xxf=0:0.1:x_a;yyf=chi2pdf(xxf,n)；%计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用
fill([xxf,x_a],[yyf,0],'g')%填色，其中：点(x_a,0)使得填色区域封闭
text(x_a*1.01,0.01,num2str(x_a))%标注临界值点
text(10,0.10,['fontsize{16}X~{chi}^2(4)'])
%图中标注
text(1.5,0.05,'fontsize{22}alpha=0.9')%图中标注
结果显示如图4-9。
