爱华网高师理科学刊2011年3月
数学家的特质分析
周美玲1，吕效国1，吕秋敏2
（1.南通大学理学院，江苏南通226007；2.南通大学杏林学院，江苏南通226007）摘要：总结了数学家的３类特质，即天赋异禀与后学精勤，理性至上与批判创新，诗人气质与自由心灵，并对其进行了分析．
关键词：数学家；特质；天赋；创新
在第514期《都市文化报》上有这样一则笑话：“一位农夫把工程师和数学家都请到家里来，请他们想办法用最少的篱笆围出最大的面积．工程师觉得这个问题很简单，他很快用篱笆围出一个圆，宣称这肯定是最优设计．然而，数学家却对工程师的成果大肆嘲笑，他完全不赞成，然后，他用了很少的篱笆把自己围起来，说了一句出人意料的话：我现在是在外面”．这个小故事里所刻画的数学家形象十分典型，他的想法绝对正确，但他的想法一点用都没有，所以让人觉得古怪又可笑，正如歌德所说：“数学家犹如法国人，无论你对他们说什么，他们会把它翻译成自己的语言，于是就成了全然不同的东西”[1]．在常人眼中，数学家们的确有些特别之处，如果我们把目光投向历史的长廊，遍览浩若繁星的数学家群体，就能对数学家们的特质管窥一二．
1天赋异禀与后学精勤
怎样的人才能成为数学家，哈尔莫斯曾经这样回答：“要当一个数学家你要有天赋；你必须不断的使自己完善起来；你必须酷爱数学胜过一切；你必须在数学上勤奋努力和锲而不舍，并且永不退缩”[2]．谈起数学天赋，的确有一些数学家具有似乎是与生俱来的非凡的计算才能、记忆力以及对数学关系的超乎寻常的敏感与洞见，一切如有神助．这方面的典型人物首推大数学家欧拉，“欧拉计算毫不费力，就像人呼吸或者鹰在风中保持平衡一样”[3]，他有着惊人的记忆力，他能背诵前100个质数的前10次幂，能背诵诗人维吉尔的长篇史诗《Aeneil》（12卷，12 000行），能背诵当时已有的全部的数学公式，直至晚年他还能复述年轻时的笔记的全部内容．欧拉还有着惊人的心算本领，一次他的２个学生计算一个颇为复杂的收敛级数的前17项和，结果２个人在第50位数字上不一致，欧拉为了确定究竟谁对，就用心算做出了全部的运算并得到了正确的结果．欧拉在双目失明之后还口述了约400篇论文，解决了包括月球运动等连牛顿都头疼的疑难问题，其全部复杂的分析计算都是由心算完成的．英国的数学家艾特对数字的记忆力同样非凡，他在13岁的时候已将圆周率π记到小数点后1 000位．对于3位数、4位数的平方，3位数的平方根等他都只需两三秒即可迅速的背出来．澳大利亚华裔数学家菲尔茨奖得主陶哲轩也是一个数学天才，他2岁就会加减法，7岁就学微积分，8岁开始念中学，12岁就在大学里研究数学，16岁大学毕业，24岁就成为教授，据说陶哲轩的智商高达220以上，百万人中也只出现一个，在数学家中智商在140以上的还不少，如拉普拉斯、维根斯坦的智商都高达190，帕斯卡195，莱布尼兹达到205等．数学家的高智商是否具有统计意义上的高概率无从得知，也并无特别的意义，而疑问是数学家的成就是否完全取决于高的智商和天分，回答是否定的．因为在数学史上，很多成就卓著的数学家并无超常的天分，他们成功的主要原因是勤奋与钻研．牛顿就曾说过：“我并无过人的智能，有的只是坚持不懈的思索精力而已”．牛顿往往一天伏案工作18 h左右，仆人常常发现送到书房的午饭和晚饭一口未动．偶尔去食堂用餐，出门便陷入思考，兜个圈子又回到住所．事实上，牛顿小的时候并未展露出特殊的数学才华，甚至在参加剑桥大学入学考试时数学成绩很不理想差点落榜，但是在进入剑桥大学之后，牛顿凭着异常刻苦勤奋的钻研劲头在数学方面突飞猛进，直至创建了前所未有的惊人业绩．我国著名的数学家张广厚，在小学、中学读书时智力水平并不出众，他的成功也是与后天的勤奋刻苦和努力钻研有很大关系，他曾说：“搞数学不需太聪明，中等天分就可以，主要是毅力和钻劲”．已逝的著名美籍华裔数学家陈省身这样说：“我早晨醒来，想的第一件事就是数学．我的生活就是数学，终生不倦地追求就是数学，数十年如一日，从没有懈怠过，现在依然如此，每天至少有七八个小时是在思考数学”．美国心理学家曾对千余名天才儿童进行跟踪研究，30年后发现智力与成就之间不完全相关，智商高的不一定就有成就，在800名男性中，成就最大的占20％，没有成就的占20％，进行仔细比较后发现，他们的主要差异在个人意志方面．这一结果并不出人意料，正所谓“勤能补拙是良训，一分辛劳一分才”，勤奋对一个人的成就具有重要的影响，没有坚韧的品质和持之以恒的毅力，即使智商高，人生的成就也是有限的．
2 理性至上与批判创新
数学家是一个“理性至上”的群体，数学家的理性精神是他们进行数学探索和研究的灵魂与动力，是他们认识世界、改造世界的卓越智性能力与崇高的人格力量．数学家的理性精神源自数学本身，克莱因说：“数学是一种精神，一种理性的精神，它使人类的思维得以运用到最完善的程度”[4]．因此，数学家所追求的是理性精神的极致．
2.1 对于自然世界数学本质的无尽探索
数学家倾向于认为，自然界具有理性的秩序，所有的自然现象都遵循着精确、不变的法则，而且数学家们进一步相信，这个秩序可以用数学方式表达，任何理性秩序都无法回避数学思想，所以我们需要借助数学的研究来揭示大千世界的规律．伽利略说：“如果没有数学的帮助和介入，对于大自然中的许多部分，我们既不能以足够的精细去阐明，也不能以足够的明晰去论证，还不能以足够的灵巧去应用”[5]，的确，数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支，离开了数学的工具和手段，科学的探索将寸步难行．而数学家们往往都具有认识世界、揭示真理的强烈的使命感和责任心，正如希尔伯特所说：“认识自然和生命是我们最崇高的任务，我们必须知道，我们必将知道”[6]．卓越的理性认识能力也使数学家们能够透过纷繁复杂的现象发现其数学本质，表现出对数学关系极度敏锐与深刻的洞察，生活中许多对普通人来说平淡无奇、熟视无睹的数与量的关系都可能成为数学家们感兴趣和研究的对象．他们是最善于将具体而微的现实世界与抽象的数学世界建立联系的使者．
2.2 对于完美的推理与证明的不懈追求
维特根斯坦说：“数学就是各式各样的证明技巧”，可见，数学证明对于数学家有着特别重要的意义．数学证明是认识和揭示客观真理的有效工具，它具有高度的抽象性、精确性以及严密的逻辑性，它集中反映58高师理科学刊第31卷了数学的魅力和特点．因此，简洁优美又无懈可击的数学证明一直是数学家们苦苦求索的对象，他们认为寻找最完美的证明正是数学家的至高使命．数学中所有的假想、推测、判断都必须通过严格的逻辑证明才能确定其正确性，“严格性对于数学家，就如道德之对于人”[7]．在数学的历史上，一旦一个新问题被提出，马上会有成千上万的数学家争先恐后地踏上寻求完美证明的征途，这个过程可能很快，也可能很漫长，数年、数十年，甚至成百上千年，而数学家是一个特别具有集体韧性和执著精神的群体，只有当有朝一日一种正确的证明方法经过反复苛刻的推敲验证终于得到整个群体的确认，这一过程才算告一段落，并且，还有一些意犹未尽的数学家并不会就此罢手，他们会在这基础上继续寻找更为独特或者更为完美的证明方法，没有最好，只有更好．
著名数学家保罗厄多斯曾断言：上帝有一本关于所有最佳数学证明的书．在他看来，数学家的工作就是越过上帝的肩膀偷看一下那本书，并将上帝的智慧传递给人类．但是，哪怕是最杰出的数学家往往也难以断定目前自己所作的证明正是上帝的书中所写的最佳证明，于是他们会继续探寻，这个过程几乎没有止境，但这是他们觉得非常有意义的事情．高斯就是其中一个代表，高斯在19岁时就证明了欧拉提出的“二次互反律”，这也是他一生的得意之作，被他称为“数论的酵母”，但他并未就此止步，在以后的岁月里，他一共给出了７种不同的证明方法（继高斯之后，数学家们又陆续给出了50多种其它的证明方法）．高斯也是第一个给“代数基本定理”以完全证明的数学家，他曾先后4次（1799年、1815年、1816年、1850年）给出这一定理的证明．他曾说：“绝对不能以为获得一个证明以后，研究便告结束，或把另外的证明方法当做多余的奢侈品”，“有时候一开始你没有得到最简洁、最美妙的证明，但又恰恰是在寻求这样的证明中才能深入到高级的算术真理的奇妙联想中去，这正是吸引我去研究的主要动力”[8]．高斯一贯以治学严谨、精益求精而著称，一生有大量的创作没有发表，就是因为他要求证明要达到最大限度的简明和严密，呈现在人们面前的总是最完美无瑕的结果．高斯的印章很特别，是一棵只有很少几个果实的树，上面刻着座右铭：“少些，但是要成熟”[9]．这种对于证明的完美主义倾向，发生在许多数学家身上．无独有偶，魏尔斯特拉斯作为现代分析之父，也总是推迟发表自己的工作，他总是力求以崭新的途径进行证明，并且使结论建立在绝对牢固的基础上，他会反复推敲自己的观念、理论和方法，直到他认为已达到它们理应具有的自然完美的方式为止．在数学史上，一些著名的定理虽然已经被证明，但还是有人要再去证明，甚至一证再证，数学家们在不断追求完善证明的过程中获取了除定理本身内容以外的更广泛的理解，还能得到许多新的发现，这对于推动数学的发展是极有意义的．
2.3 敢于冲破一切障碍开拓创新
数学的进步是一个不断拓深覆新的过程，这其中充满了数学家理性的怀疑、追问、批判与创新．数学家的怀疑批判是对已有成果的自觉反思，是合理的怀疑、辩证的扬弃，目的是把陈旧的、肤浅的、片面的、错误的结果抛掉，把能够产生新认识的结果纳入关注的视野中．“一个好的数学家必须有勇气面对大量的尝试和摒弃”[10]，数学家总是谨防想当然的接受某些东西，他们始终以质疑的态度探究或验证以往的观点和方法，并且敢于冲破一切障碍提出具有开创性甚至颠覆性的新的数学观点．
19世纪，康托提出了令人“难以置信”的“超穷数”理论，得到了诸如“全体正整数与全体正偶数一一对应”、“单位区间（0，1）中的点与单位正方形内的点一一对应”、“一条直线上的点与n维空间上的点一一对应”等一系列令人匪夷所思的奇异结论，遭到了以他的老师克罗内克为代表的固执的“有穷论者”们的无情攻击和打压，庞加莱甚至公开的指责说无穷集合是“病态与邪气的坟墓”，“下一代人将视集合论为一种疾病”[11]，但是康托并未因此而退缩，在贫病交加的情况下仍然继续集合论的研究，建立了比较完整的理论体系，奠定了他作为集合论的创始人的地位，他的工作也被希尔伯特誉为“最值得钦佩的数学理智的花朵，是纯粹理性范畴中人类活动所取得的最高成就之一”．非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基和康托的命运极其相似．19世纪初，几何学界流行着黑格尔的观点，认为欧几里得所遗留下来的初等几何已经相当完备，不可能有更多的进展了．但罗巴切夫斯基的发现一下子否定了黑格尔的论调，他所提出的“新几何”对几何学进行了根本的变革，但是，伟大的思想并不常常马上为人们所理解，“罗氏几何”不但没有受到同代人的赞扬，反而遭到嘲弄和讥讽，不少数学权威称他的学说是“荒唐透顶的伪科学”，“对有学问的数学家的讽刺”，还有人写匿名信说他是“疯子”、“笑话”，面对狂风暴雨般的攻击，罗巴切夫斯基表现出了伽利略式的“追求科学需要的特殊勇敢”，寸步也不退让，他的一生始终在为他的新
思想而斗争，因此也被后人称为“几何学上的哥白尼”．在数学史上，这样的例子不胜枚举，每一次数学危机的化解，每一种新的数学理论的提出，每一个数学分支的诞生无不历经波折，而数学家们都有一颗勇敢的心，他们敢于怀疑“公认的”真理，敢于向传统观点不断的发起挑战，这也使他们成为推动数学发展的关键力量．
3诗人气质与自由心灵
在常人看来，数学家大都聪明绝顶却不食人间烟火，他们喜欢沉湎于毫无意义的臆想，他们似乎都是些笨拙和毫无用处的梦想家，这些看法其实并不恰当，卡培尔曾说：“所有的数学家生活在２个不同的世界里．一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世界，一座冰宫．但他们还生活在普通世界里......，数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里，他们是成人，在现实的世界里，他们则成了婴儿”[12]．数学家的气质是如此的特别，他们孤傲不羁、浪漫唯美、充满想象力和创造力，他们自由奔放的心灵常常超脱于现实世界之外．哈代认为：“真正的数学家的心理性格和诗人或作曲家相近，也就是关心美的创造及和谐卓越的追寻，他们和务实派的人截然相反”．魏尔斯特拉斯也持相同的观点：“如果不在某种程度上成为一个诗人，就永远不会成为一个完全的数学家”．究其根本，正是数学自身的特点在很大程度上影响和造就了数学家的气质，柯瓦列夫斯卡娅说：“想象力和创造力是同一的......，诗人能够领悟他人不能领悟的东西，比他人观察得更深透，而数学家也必须做同样的事情”[13]．从某种意义上说，数学同诗歌一样：凝炼、深邃、优美、隽永，数学中有像诗画那样美丽的境界，而且，“数学的本质在于它的自由”，这一点尤为重要，德国数学家赫尔曼·汉克尔说：“数学沿着自己的道路无拘无束地前进着，这并不是因为它有什么不受法律约束的种种许可证，而是因为数学本来就具有一种由其本性所决定的并且与其存在相符合的自由”．当数学家们只需挥动轻巧的鹅毛笔，就能在薄薄的稿纸上，像将军一样驱策着数字、线条与公式的千军万马时，他们的行为实际上也印证了数学这种最本质的特点．在数学中，凡是可以想象的东西数学家都可以完全自由的去思索，雨果说：“科学到了最后，就遇上了想象．在圆锥曲线中、在对数中、在概率计算中、在微积分计算中、在运用于几何的代数中，想象都是计算的系数，于是数学也就成了诗”[14-16]，因此，数学家们有着在理性世界里归去来兮的诗意的心灵，只要符合内在的逻辑和谐，他们的想象和创造就可以天马行空无往不至，在很多时候，他们完全沉陷于数学理念世界中苦心孤诣的冥想，纵使筚路蓝缕也难以自拔．
参考文献：
[1]西奥尼·帕帕斯．理性的乐章[M]．上海：上海科技教育出版社，2008：33-68
[2]Paul H．I want to be amathematician[M]．Berlin：Springer，1985：400-403
[3]贝尔E T．数学大师[M]．上海：上海科技教育出版社，2004：167
[4]克莱因M．西方文化中的数学[M]．上海：复旦大学出版社，2005：52
[5]陈诗古，葛孟曾．数学大师启示录[M]．北京：开明出版社，2005：215
[6]袁向东．Springer出版的数学家著作集：下[J]．数学译林，1989（4）：378
[7]克莱因M．古今数学思想（第2册）[M]．上海：上海科学技术出版社，2002：8
[8]贝尔E T．数学大师[M]．上海：上海科技教育出版社，2004：279
[9]李心灿，高隆昌．当代数学精英[M]．上海：上海科技教育出版社，2002：124
[10]克莱因M．古今数学思想（第４册）[M]．上海：上海科学技术出版社，2002：71
[11]威廉·邓纳姆．天才引导的历程[M]．北京：中国对外翻译出版公司，1994：12
[12]Swetz F．Seeking relevance?Try the history ofmathematics[J]．
Mathematics Teacher，1984，77（1）：54-62
[13]Albers D，Alexanderson G L．Mathematical People：Profiles and Interview[M]．Boston：Birkhauser，1985：171
[14]彭小智，凌能祥．相依样本下回归函数分割估计的渐近正态性[J]．南通大学学报：自然科学版，2009，8（4）：89-94
[15]李泽安，葛建芳，章雅娟．Beta回归模型在数据挖掘预测中的应用[J]．南通大学学报：自然科学版，2009，8（3）：83-85
[16]金晶亮．非线性测量误差模型的Bayes估计[J]．南通大学学报：自然科学版，2009，8（2）：91-96
