证明连续函数的一致连续性为何那么困难? 函数的一致连续性

大家知道,函数f在闭区间[a,b]上的一致连续性是指:对任意ε>0,必存在一个δ.>0,只要│x' –x''│<δ,则必有│f(x')-f(x'')│< ε。

证明连续函数的一致连续性为何那么困难? 函数的一致连续性

康托尔定理是断言:函数f在闭区间[a,b]上处处连续,则必一致连续。在微积分学中,这个定理非常重要。严格地讲,微积分基本定理的证明需要用到它。但是,”十一五”国家级规划教材《高等数学》对此定理“这里不予证明”(第74页),不知为何,就这么”一提而过“。

同样地,“十一五”国家级规划教材《数学分析》对此定理花费了两页多文字加以证明,既繁琐,又晦涩,让人不得要领。而歌德布拉特在《超实讲义》中,对该定理说:f is uniformlycontinuous on [a,b] if and only if x≈y,impllies f(x) ≈F(y)。 这种说法,是何等简洁,而且符合我们的直觉!

歌德布拉特怎么给出上述定理的证明呢?讲义只有一个单词:Exercise(练习)。这个回答多么牛气啊!实际上,用反证法只需要一句话!由此可见,我们的微积分教学不改革是不行了。

  

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