用《几何画板》探索幂函数图象的教学案例与研究 几何画板对数函数图象

安徽省铜陵市第三中学 柏永红

一, 教材分析

幂函数这节内容,在高中数学教材中可以说是几起几落,由于它的图象多样性和复杂性(图象有11种),在“减负”的呼声中几次被删除。随着网络计算机的发展,一些先进的数学软件不断涌现,利用信息技术探索幂函数的图象成为方便与可能,这也符合新课程倡导的将课程与信息技术整合的理念。

二, 设计意图

《几何画板》软件是一款优秀的数学软件,它具有实时动态的功能,作图方便、快捷。该软件能提供给学生观察、发现、归纳幂函数图象和性质的良好的实验环境。幂函数y=xn(n∈Q)的图象由n值的不同而不同。让学生自已设定n值来探索图象规律, 能培养学生观察、分析、总结规律的能力。本节课的设计,旨在遵循新课程理念,实现课程与网络的有效整合。经过探索,学生的自主性得到充分体现,必将引领学生学习方式的改变,而教师也成为“真正的行动研究者”。

三, 学情分析

教学实验是在微机室进行的,一人一台电脑,班级是我校高一(九)班,该班学生整体水平属中等。在知识内容上,高一学生已学过函数的奇偶性和指数函数与对数函数图象和性质。为使学生较方便地运用软件,之前先花费两三课时讲解有关软件应用知识,针对软件中作函数图象的功能,只需键入函数表达式立刻得到函数图象,学生掌握也很快。

四, 教学设计及过程

共两课时,第一课时有以下几个环节.

1.幂函数概念讲解. 函数y=xn,n 是有理数,叫幂函数

2.提出问题引导探索 幂指数n可取哪些数呢?学生回答:整数、分数。之后,要求学生在计算机上任意选取指数值,画出图象并适当记录下来,归纳出图象形状共有多少种不同类型。

3.学生探索 本环节是这节课的主要程序,学生各自键入自已设定的值,一时间每位学生的电脑上都显现出五花八门的图象。为了使学生有充足的时间思考,因此多给学生一些时间,约30分钟。教师尽量不指导学生分类方法,让他们自已探索或相互交流,在不断反思中调整自已的数学实验,得到自已所需要的。教师巡视,只给予个别学生软件应用方面的指导。

4.交流研讨 有了自已的探索经历,学生兴趣昂然,互相探讨更加强烈,各抒已见。经过交流,不少学生核实了自己的成果,都有一定的成就感,也能及时地发现自己的不足,并能及时修正再实践,约10分钟。

5.归纳总结. 让学生适当记录探索结果,图象的各种类型,课后写出总结报告及心得体会。

第二课时,根据学生的实验报告,针对一些典型问题进行师生共研,最后归纳出图象种类和图象性质。

五.个案研究

个案1. 周同学的探究报告

我决定先分n是正负整数来探讨

(1) n为正整数时,取n=1、2、3、4得出以下四个图象

n=1 n=2 n=3 n=4

发现y=x2与y=x4图象相似。而y=x与y=x3不同,是否n为奇数时没有规律呢?我又键入y=x5图象,发现与y=x3相近,可见,y=x是一个特殊的类型,其余n为奇数时,图象相近,n为偶数时也相近。

(2) n为负整数时,取n=-1、-2、-3、-4得出以下图象

n=-1 n=-2 n=-3 n=-4

很明显n取-1、-3时图象类似,n取-2、-4时图象类似。图象的形状与n的奇偶性密切相关。结合n为正数的情况,我猜想当n为奇数时图象在一、三象限,n为偶数时图象在一、二象限。再画几个图象,果然验证了我的猜想是正确的。并且第一象限图象过点(1,1),第二象限图象过点(-1,1)。

(3) n为正分数时,取n=0.1、0.2、0.3、0.4得出如下图象

n=0.1 n=0.2 n=0.3 n=0.4

发现:n为正奇数时只有一条曲线,分布在第一象限,而n为正偶分数(注:该同学对此概念说法有误)时有两条曲线

(4) n当为负分数时,取n=-0.1、-0.2、-0.3、-0.4得出如下图象

n=-0.1 n=-0.2 n=-0.3 n=-0.4

发现n取负奇分数时图象相同,在第一象限。n取负偶分数时图象相同在一三象限。我忽然想起还有n=0的情况。键入n=0,图象是一条直线。

总结:幂函数图象共有10种不同形状的图象。

评析:周同学的实验过程基本上探索了幂函数的图象类型,有猜想、有验证,但分类不够清晰、全面,出现正、负奇偶分数这样的错误概念。在n取分数时不具有一般性,致使讨论不完整。在取n=0.1、0.3即 时图象只出现在第一象限,该同学归纳出了类型却没有进一步研究其原因何在?丧失了一次探究幂函数图象与定义域相关连的良好机会。这也是教师需要点拨和引导的地方所在。

个案2. 齐同学的探究报告

首先讨论n为整数的情况

当n=2时,图①, n=3时图②, n=-2时图③, n=-3时图④

① ② ③ ④

观察比较后,猜想n为偶数时图象关于y轴对称(在第一二象限)。n为奇数时图象 在一三象限,关于原点对称。我又画了n=±4,±5的图象,猜想得到验证。

其次,讨论n为分数的情况

设 (a>0,b>0) ,当 时图⑤, 时图⑥, 时图⑦, 时图⑧ , 时图⑨, 时图⑩

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

⑨ ⑩

初看图⑤、⑥时发现很奇怪,为什么它们的图象只在第一象限,并且弯曲的模样还不一样呢?仔细研究发现图⑤中幂函数式为 图⑥中幂函数式为 两式中x不能取负数!所以图象只是在第一象限。而a<b时图象与a>b时图象上升的快慢不一样,也就是弯曲的形状不一样了。

对于图⑦⑧⑨⑩,猜想是因为a、b取奇偶数有关,也与a、b的大小有关。

再设 (a>0,b>0) 取 图⑾ , 图⑿ 图⒀,等等。

⑾ ⑿ ⒀

从a、b的大小与奇偶性两方面来研究。发现a、b的大小对图象影响不大。只是a、b取奇偶数对图象的形状起到主导作用。

最后,还有一些特殊值 n=1,0,-1,得图⒁,⒂,⒃

⒁ ⒂ ⒃

综上,研究幂函数应从两方面着手,一是指数大小(包括正负情况)二是指数奇偶性。概括前面的研究,共有图①、②、③、④、⑤、⑥、⑧、⑩、⑾、⒁、⒂、⒃12种不同类型的图象。

评析:该同学先大致地对指数n进行了分类,再从图象的不同类型找到了指数n的分类方法,指出二点:一是以n值大小,二是以n值是奇偶数的情况。整个探索在归纳图象类型的同时阐述了幂函数图象性质,并能从这些特性反过来指导图象分类。思维严谨、有序,且探索思考细致。如对 与 作了进一步研究,得到定义域对图象的影响的一项结论,而其它情况均具有图象对称性(从而联系了奇偶函数图象对称性的知识)。美中不足的是,把n=-1当作特殊值。其实,n=-1与一开始取n=-3时图象类似,也许是初中学过反比例函数 ,造成思维定势的原故。在研究a>b或a<b的图象上翘、下翘时没能把a=b(即n=1)及时地加入进行对比研究。当然,一节课的时间毕竟有限,能研究到如此程度已相当不易。

由此,幂函数共有11种不同类型的图象,可归纳成抛物线型、双曲线型和直线型,而 n的值可分为 :n<0,n=0,0<n<1,n=1,n>1五个范围来研究,先得出第一象限的图象是上升(n>1 时上翘、0<n<1时下翘)还是下降,再根据对称性得到其它象限的图象。这些归纳总结还需要教师在第二节课时加以引导,这样才能使学生思维得以升华。

六.教学反思

1.一点思考

(1)探索实验能反映学生认识问题的角度和程度

有同学对幂函数图象的形状比较关注,得出只有n=0和n=1时是直线,而其余均为曲线的结论;有同学对图象所在象限比较关注,分析得出只在第一、二、三象限;少数同学对第四象限为什么没有图象作了进一步探究,意识到一个正数的任意次方永远为正的道理,等等。可谓百花齐放,百家争鸣,就连平时成绩很差的同学,在实验报告里也有一定的分析成果,对提高自己的自信心有极大的帮助。教师掌握了学生们的认识情况之后,就能更好地教,必然会产生良好的效果。

用《几何画板》探索幂函数图象的教学案例与研究 几何画板对数函数图象
(2)探索实验能提高学生分析、归纳、鉴别能力

经过猜想、验证,每位学生都在检测了自己的判断分析能力,经过交流研讨,每位学生又从其它同学处学到了相关知识,发现了自己的不足,提醒了自己,激发了自己,更能提高自己,我想这也是新课程理念所倡导的学习方式吧!

2.来自学生的感受

周同学:我在第一次做这样的探究时,感觉n值有很多情况,而在探究或在与同学交流中才逐渐补全。使我自己意识到我对参数分类不够严谨,平时的学习不够认真所致。经过这次探究活动,检查到我的弱项。我觉得多做这样的探究可以使我的逻辑思维更严谨,而且对幂函数印象深刻,如果单纯听老师讲解,听起来可能苦涩难懂,而且容易遗忘。在实践探讨中不断推测、假想、提问,然后随着探究深入,得到验证,发现了很多有趣的事实,受益很多。

陈同学:这次探究非常有意思,开拓了我的视野,拓展了我的思维,将知识感观化,实现了自己探究数学的奥秘。充满趣味性和挑战性。刚开始时,无从下手,有的猜想是对的,有的猜想是错的,这样的实验做多了,问题便迎刃而解,思路也活跃不少,加强了我的逻辑思维能力及总结归纳能力,科学不能靠主观意断行事,必需经过实践的检验才能下结论,希望老师多给我们上机实践的机会。

胡同学:这种探索学习的方法非常好,我们可以自已思考、自已探索,提高了我们的探究能力。可以根据我们所思考的问题进行探究,激发我们的求知的欲望,俗话说“学而不思则罔,思而不学则殆”。通过这种方法来学习,我们可以不“罔”也不“殆”了。

2009.9安徽省电化教育馆、安徽省电化教育协会 二等奖

  

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