二次函数平移及比较
一、初中所学的三种函数图像平移的对比
(一)解析式
一次函数的解析式 | 反比例函数的解析式 | 二次函数的解析式 |
一次函数y= kx+b(k≠0) x指数为1 ,b取任意实数。 正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数的特例 | 有三种形式①、y=k/x (k≠0,x不能等于0,y≠0) ②、y=kx-1(叫隐函数) ③、k=xy | 有三种形式①、一般式y=ax2+bx+c(a≠0) ②、顶点式y=a(x-h)2+k ③、两根式y=a(x- x1)(x-x2) |
平移口诀“左加,右减,上加,下减” ; 对于平移,一定要在符号x、b的“内部”进行。 |
(二)平移的结果
一次函数图像的 平移结果 | 反比例函数图像的 平移结果 | 二次函数图像的 平移结果 |
一次函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后其解析式仍为一次函数。 正比例函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后其解析式为一次函数(不再是正比例函数)。 | 初中阶段反比例函数不能平移。 这是因为,反比例函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后不再是反比例函数(由作图得出),而是形如y=k/(x-m)+n(m、n、k为常数,且k≠0)的“分式函数”,超出了初中数学大纲的要求。反比例函数图像的平移问题,并非目前初中教材中的必学内容或选学内容,仅是与教材配套的《基础训练》中出现的“探索与思考”内容。 | 二次函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后其解析式仍为二次函数。 |
(三)平移的规则
一次函数平移规则 | 二次函数顶点坐标的平移规则 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
口诀:左加,右减,上加,下减 符号分工:x管左右,b管上下 平移原则:一定在b、x内部进行 一次函数的原式:y=kx+b 左右移动:y=k(x+n)+b 左加右减 上下移动:y=kx+(b+n)上加下减
| ①、抛物线图像的移动就是其顶点坐标的移动;②、二次项系数a与图像的移动无关。平移口诀:左加,右减,上加,下减 顶点式y=a(x-h)2+k的平移,h管左右,k管上下
一般式y=ax2+bx+c的平移,x管左右,c管上下
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二、一般式y=ax2+bx+c图像的平移
举例:如果从一般式式子y=x2+2x+3开始入题,
要求,y=x2+2x+3向右平移1个单位,得到y=(x-1)2+2(x-1)+3,
再要求,向下平移2个单位,就得到y=(x-1)2+2(x-1)+3-2,
整理后就得到y=x2。
反之,如果从式子y=x2开始入题,根据已知条件使用口诀“左加右减”,提出与上面两项要求的逆向要求,看式子有什么变化:
要求y=x2向左平移1个单位,得到y=(x+1)2
再要求向上平移2个单位,就得到y=(x+1)2+2,根据完全平方公式(a+b)2打开,就得到y=(y=x2+2x乘1+1)+2,得到y=x2+2x+3。这样就又回到原来的式子了。
三、顶点式y=a(x-h)2+k图像的平移
如果从式子y=(x+1)2+2开始入题(此例子同前面二次函数一般式的举例相同,y=(x+1)2+2即为一般式 y=x2+2x+3的变形,不过式子形式和方法不同)。
要求,向右平移1个单位,y=(x+1-1)2+2(左右上下平移口诀:左加右减,上加下减。向右就减),就得到y=x2+2
再要求,向下平移2个单位,y=x2+2-2整理后就得到y=x2。
四、二次函数图像平移就是顶点坐标的平移
(一)、从顶点坐标在原点开始式子的变化
如果,我们从y=x2顶点坐标开始入题,根据已知条件变换坐标数字看顶点坐标有什么变化。
顶点坐标为(0,0),将(0,0)向左平移1个单位“-1”,向上平移2个单位“+2”,就得到(-1,2)。我们可以用另一种代入法来验算:在 y=x2+2x+3中,取出a=1,b=2,c=3,代入顶点坐标公式,果然得h=-1,k=2(-1,2)。
(二)、读顶点坐标式子,观察式子中反映的移动变化
顶点式y=a(x-h)2+k中,h是管左右移动的。
当h>0时,向右平行移动;(因为数轴右方向的数字大)
当h<0时,向左平行移动。
须注意,比如,1/2(x-6)2中,h为+6,不是-6,如果是 1/2(x+6)2,h就是-6。(a是分数时开口很大)
在式子y=a(x-h) 2+k中,对称轴是h,函数图像的顶点坐标是(h,k);
在式子y=a(x+h) 2 +k中,对称轴是-h,函数图像的顶点坐标是(-h,k)
例1:y=2(x-6) 2-3中,对称轴是6,函数图像的顶点坐标是(6, -3),式子说明顶点从原点先向右6格,再向下3格。
例2:y=2(x+6) 2 -3中,对称轴是-6,函数图像的顶点坐标是(-6, -3),式子说明顶点从原点先向左6格,再向下3格。
例3:y=2 x2 -3中,即y=2(x+0)2 -3中对称轴h是0,函数图像的顶点坐标是(0, -3),式子说明顶点从原点向下3格。
例4:y=2 x2中,对称轴h是0,函数图像的顶点坐标是(0,0)。2代表开口方向和开口大小。
(三)下面介绍的方法可以参考
二次函数的图像平移在中考题中经常出现,很容易做错。各方介绍,众说纷纭,在记忆的时候容易发生错误。以下是一种比较好记的平移方法。
二次函数图像平移时,图像的开口方向和形状都不发生变化,即a值不变。
可以解决有关平移的两类问题:
1、已知原二次函数和图像平移的方向,求平移后的新函数。解题策略为:先将二次函数解析式根据配方法化为顶点式,确定其顶点坐标,再根据图形平移方向,确定平移后新的顶点坐标。由新函数的顶点坐标和a的值求出解析式。
2、反过来,已知原二次函数和平移后的新函数,求图像平移的方向。解题策略:分别求出平移前后二次函数的顶点坐标,由顶点坐标的变化规律推出图像平移的方向。
这种平移方法要求应掌握的知识为:
①、熟练二次函数的顶点坐标公式。
.②、会根据配方法求出二次函数的顶点坐标。
③、已知二次函数的顶点坐标和a的值,会求出其函数解析式。如:已知二次函数的顶点坐标为(h、k)和a值,则函数解析式为:y=a(x-h) 2+k。④二次函数的图像左右平移时,所有点的横坐标变化,纵坐标不变;上下平移时,所有点的横坐标不变,纵坐标发生变化。
五、怎样将一般式变成顶点
(3)、怎样将顶点式变成一般式?
根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,将式子展开就行了。
y=2(x-6)2-3
y=2[x2-2x×6+62]-3
y=2x2-24x+69
六、二次函数的配方法
(一)、一元二次方程的配方法
通过配方,将ax2+bx+c=0变成等式左边是完全平方式,等式右边是非负常数形式,将完全平方式展开,就可以得出根。如果右边不是非负数,而是负数时,则该方程无解。当然,事先也可以判断这个方程是否有解(“解”又叫方程的“根”),办法是用一元二次方程的判别式。当b2-4ac>0时,有两个解;当b2-4ac=0时,有两个相同的解,即只有一个解;当b2-4ac<0因为√b2-4ac<0不行,所以没有解。
(二)与一元二次方程配方法的区别
两者配方方式是一样的。区别在于
将一元二次方程配方,要把ax2+bx+c=0中常数项c先移到等式的右边,然后将左边通过
配方后变化成完全平方公式。
而将二次函数配方,等式左边的函数y不能移动,所有的操作都只在等式右边进行,在照抄完二次项ax2和一次项+bx之后,在一次项后面同加同减一个一次项系数的一半,稍后把同
加的这个数(一次项系数的一半)合并入完全平方公式,把同减的这个数并入常数。
(三)、二次函数的配方法
顶点式解析式就是用配方法推理出来的,见下例,可以进一步熟练掌握配方法。
七、二次函数中a、b、c的作用
(一)、二次函数中的a
a≠0,a不能等于0
a决定开口的方向及开口的大小,最简二次函数y=ax2中a是这种形式。.
增减性就是它的性质,不必硬背,看图形,都先从左边看起
当a>0时,在对称轴左侧是减函数,右侧是增函数,
当a<0时,在对称轴左侧是增函数,右侧是减函数。
(二)、二次函数中的b
特别要注意抛物线y=ax2+bx+c中 “b”的作用
(三)、二次函数中的C
c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.
当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,C)
① c=0,抛物线经过原点;
② c>0,与y轴交于正半轴;c<0
③c<0,与y轴交于负半轴。
八、怎样从一个式子中看出谁是二次函数的对称轴和顶点坐标?
(一)、什么是二次函数的对称轴?
是一条在直角坐标图中平行于y轴(垂直于x轴)的直线,它无非有三种情况,与y重合(x=y);在y左侧(如x=-1);在y右侧(如x=1)。
(二)、什么叫顶点坐标?
二次函数的图象是只有一单条条抛物曲线曲线,又叫曲线(反比例函数有两条曲线,一次函数是一条直线),它只存在开口向上和开口向下两种情况。这条曲线一头是一个无暇大的口子,一头是一个最大或最小的那一点,这一点就叫顶点。当a>0时,开口向上,有数值最小顶点,又叫最小值。当a<0时,开口向下,有数值最大顶点,又叫最大值。我们知道,二次函数抛物曲线是根据一个个的点描绘而成的,每一个点都可以用一个坐标(x,y)来表示。那顶点所在的坐标就叫顶点坐标。
(三)、怎样确定“对称轴”、“顶点坐标”?——“阅读顶点式直接读出法”
1、怎样读顶点式?
从顶点式y=a(x-h) 2+k如y=3(x-1)2+2中直接读出,式中的h就是“对称轴”,
“x=1”表示(可以画个图感觉一下)。式中的h和k就是“顶点坐标”。这里要注意 “顶点坐标”中的h,y=3(x-1)2+2中 h是+1而不是 -1。因为顶点式的公式本身就是y=a(x-h) 2+k,所以x=1,而不是-1
例如:
y=a(x-h) 2 +k,对称轴是h,而不是 -h,图象的顶点坐标是(h,k);
y=a(x+h) 2 +k, 因为y=a(x+h) 2 +k=y=a[x-(-h)] 2 +k,所以对称轴是-h,图象的顶点坐标是(-h,k)
y=2(x-6) 2 -3, 对称轴是6,图象的顶点坐标是(6, -3)
y=2(x+6) 2 -3,对称轴是-6,图象的顶点坐标是(-6,-3)
2、为了阅读顶点式的方便,怎样补缺少的字母便于阅读?
要注意补缺。顶点式公式的核心是h、k两个字母,缺了先补上再阅读就会能一目了然。
y=2x2-3变化为y=2(x -0)2 -3,对称轴是0,图象的顶点坐标是(0,-3)
y=2x2变化为y=2(x -0)2 + 0,对称轴是0,图象的顶点坐标是(0,0)
3、把一般式换成顶点式要注意什么?
用公式法先把h和k计算出来后再代入顶点式y=a(x-h) 2+k就行了。特别要注意既然用公式法,h、k就一定要统一通过计算得出,千万不能图省事只把h用公式算,而k就直接从y=ax2+bx+c中抄过来了事。因为在有一次项b的情况下,c和k不是一个数。如,y=2x2-24x+69有一次项b(-24),用公式把h、k计算出来后的式子是y=2(x-6)2-3,式子中的k是-3,而不是69,两个数不是一个数。像式子y=2 x2 -3中没有有一次项bx,要先变成:y=2 (x-0)2 -3,这里的c可以抄过来(将y=2 x2 -3代入公式k中验算后,k=-3)。
九、反映对称轴在哪一侧用口诀“左同右异”
(一)“左同右异”这句口诀是判断确定对称轴在何处的方法之一。
(二)、用顶点式y=a(x-h)2+k确定对称轴位置
当h为正数时,x=h,对称轴在右侧。如,y=3x2-6x+5,变化为
y=a(x-1)2+2,x=+1
当h为负数时,x=h,对称轴在左侧。如,y=3x2+6x+5变化为
y=a[x-(-1)]2+2,
y=a(x+1)2+2,x= -1
当h为0,x=h,对称轴与y重合,因而对称轴就是y轴。如,y=3x2+5变化为y=a(x-0)2+5,x=0
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