转载 二次函数四二次函数的平移及比较 二次函数的平移

原文地址:二次函数四二次函数的平移及比较作者:季末的寂寞



二次函数平移及比较

一、初中所学的三种函数图像平移的对比

(一)解析式

一次函数的解析式

反比例函数的解析式

二次函数的解析式

一次函数y= kx+b(k≠0

x指数为1 ,b取任意实数。

正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数的特例

有三种形式①、y=k/x

(k≠0,x不能等于0,y≠0

②、y=kx-1(叫隐函数)

③、k=xy

有三种形式①、一般式y=ax2+bx+c(a≠0)

②、顶点式y=a(x-h)2+k

③、两根式y=a(x- x1)(x-x2)

平移口诀“左加,右减,上加,下减”

对于平移,一定要在符号x、b的“内部”进行。

(二)平移的结果

一次函数图像的

平移结果

反比例函数图像的

平移结果

二次函数图像的

平移结果

一次函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后其解析式仍为一次函数。

正比例函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后其解析式为一次函数(不再是正比例函数)。

初中阶段反比例函数不能平移。

这是因为,反比例函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后不再是反比例函数(由作图得出),而是形如y=k/(x-m)+n(mnk为常数,且k≠0)的“分式函数”,超出了初中数学大纲的要求。反比例函数图像的平移问题,并非目前初中教材中的必学内容或选学内容,仅是与教材配套的《基础训练》中出现的“探索与思考”内容。

二次函数的图像在平面直角坐标系中,进行左右、上下平移后其解析式仍为二次函数。

(三)平移的规则

一次函数平移规则

二次函数顶点坐标的平移规则

口诀:左加,右减,上加,下减

符号分工:x管左右,b管上下

平移原则:一定在bx内部进行

一次函数的原式y=kx+b

左右移动:y=k(x+n)+b 左加右减 
上下移动:y=kx+b+n)上加下减 

平移

方向

平行

移动

列平移式子

向上

(b+m)

y=kx+(b+m)

向下

(b-m)

y=kx+(b-m)

向左

(x+m)

y= K(x+m)+b

向右

(x-m)

y= K(x-m)+b

①、抛物线图像的移动就是其顶点坐标的移动;②、二次项系数a与图像的移动无关。平移口诀左加,右减,上加,下减

顶点式y=a(xh)2+k平移,h管左右,k管上下

平移

方向

平行

移动

列移动式(注意顶点式原

式中h是负号)

左加

(h+m)

y=a(xh+m)2+k

右减

(h-n)

y=a(xh-m)2+k

上加

(k+m)

y=a(x-h)2+(k+m)

下减

(k-m)

y=a(x-h)2+(k-m)

般式y=ax2+bx+c平移,x管左右,c管上下

平移

方向

平行

移动

列平移式子

左加

(x+m)

y=a(x+m)2+b(x+m)+c

右减

(x-m)

y=a(x-m)2+b(x-m)+c

上加

(c+m)

y=ax2+bx+c+m

下减

(c-m)

y=ax2+bx+(c -m)

二、般式y=ax2+bx+c图像的平移

举例:如果从一般式式子y=x2+2x+3开始入题,

要求,y=x2+2x+3向右平移1个单位,得到y=(x-1)2+2(x-1)+3,

再要求,向下平移2个单位,就得到y=(x-1)2+2(x-1)+3-2,

整理后就得到y=x2

反之,如果从式子y=x2开始入题,根据已知条件使用口诀“左加右减”,提出与上面两项要求的逆向要求,看式子有什么变化:

要求y=x2向左平移1个单位,得到y=(x+1)2

再要求向上平移2个单位,就得到y=(x+1)2+2,根据完全平方公式(a+b)2打开,就得到y=(y=x2+2x乘1+1)+2,得到y=x2+2x+3。这样就又回到原来的式子了。

三、顶点式y=a(xh)2+k图像的平移

如果从式子y=(x+1)2+2开始入题(此例子同前面二次函数一般式的举例相同,y=(x+1)2+2即为一般式 y=x2+2x+3的变形,不过式子形式和方法不同)。

要求,向右平移1个单位,y=(x+1-1)2+2(左右上下平移口诀:左加右减,上加下减。向右就减),就得到y=x2+2

再要求,向下平移2个单位,y=x2+2-2整理后就得到y=x2

四、二次函数图像平移就是顶点坐标的平移

(一)、从顶点坐标在原点开始式子的变化

如果,我们从y=x2顶点坐标开始入题,根据已知条件变换坐标数字看顶点坐标有什么变化。

顶点坐标为(0,0),将(0,0)向左平移1个单位“-1”,向上平移2个单位“+2”,就得到(-1,2)。我们可以用另一种代入法来验算:在 y=x2+2x+3中,取出a=1,b=2,c=3,代入顶点坐标公式,果然得h=-1,k=2(-1,2)。

(二)、读顶点坐标式子,观察式子中反映的移动变化

顶点式y=a(x-h)2+k中,h是管左右移动的。

当h>0时,向右平行移动;(因为数轴右方向的数字大)

当h<0时,向左平行移动。

须注意,比如,1/2(x-6)2中,h为+6,不是-6,如果是 1/2(x+6)2,h就是-6。(a是分数时开口很大)

在式子y=a(x-h) 2+k中,对称轴是h,函数图像的顶点坐标是(h,k);
在式子y=a(x+h) 2 +k中,对称轴是-h,函数图像的顶点坐标是(-h,k)

例1:y=2(x-6) 2-3中,对称轴是6,函数图像的顶点坐标是(6, -3),式子说明顶点从原点先向右6格,再向下3格。

例2:y=2(x+6) 2 -3中,对称轴是-6,函数图像的顶点坐标是(-6, -3),式子说明顶点从原点先向左6格,再向下3格。

例3:y=2 x2 -3中,即y=2(x+0)2 -3中对称轴h是0,函数图像的顶点坐标是(0, -3),式子说明顶点从原点向下3格。

例4:y=2 x2中,对称轴h是0,函数图像的顶点坐标是(0,0)。2代表开口方向和开口大小。

(三)下面介绍的方法可以参考

二次函数的图像平移在中考题中经常出现,很容易做错。各方介绍,众说纷纭,在记忆的时候容易发生错误。以下是一种比较好记的平移方法。

二次函数图像平移时,图像的开口方向和形状都不发生变化,即a值不变。

可以解决有关平移的两类问题:

1已知原二次函数和图像平移的方向,求平移后的新函数。解题策略为:先将二次函数解析式根据配方法化为顶点式,确定其顶点坐标,再根据图形平移方向,确定平移后新的顶点坐标。由新函数的顶点坐标和a的值求出解析式。

2、反过来,已知原二次函数和平移后的新函数,求图像平移的方向。解题策略:分别求出平移前后二次函数的顶点坐标,由顶点坐标的变化规律推出图像平移的方向。

这种平移方法要求应掌握的知识为:

①、熟练二次函数的顶点坐标公式。

.②、会根据配方法求出二次函数的顶点坐标。

③、已知二次函数的顶点坐标和a的值,会求出其函数解析式。如:已知二次函数的顶点坐标为(hk)a值,则函数解析式为:y=a(xh) 2+k。④二次函数的图像左右平移时,所有点的横坐标变化,纵坐标不变;上下平移时,所有点的横坐标不变,纵坐标发生变化。





五、怎样将一般式变成顶点


(3)、怎样将顶点式变成一般式?

根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2,将式子展开就行了。

y=2(x-6)2-3

y=2[x2-2x×6+62]-3

y=2x2-24x+69

六、二次函数的配方法

(一)、一元二次方程的配方法

通过配方,将ax2+bx+c=0变成等式左边是完全平方式,等式右边是非负常数形式,将完全平方式展开,就可以得出根。如果右边不是非负数,而是负数时,则该方程无解。当然,事先也可以判断这个方程是否有解(“解”又叫方程的“根”),办法是用一元二次方程的判别式。当b2-4ac>0时,有两个解;当b2-4ac=0时,有两个相同的解,即只有一个解;当b2-4ac<0因为√b2-4ac<0不行,所以没有解。


(二)与一元二次方程配方法的区别

两者配方方式是一样的。区别在于

将一元二次方程配方,要把ax2+bx+c=0中常数项c先移到等式的右边,然后将左边通过

配方后变化成完全平方公式。

而将二次函数配方,等式左边的函数y不能移动,所有的操作都只在等式右边进行,在照抄完二次项ax2和一次项+bx之后,在一次项后面同加同减一个一次项系数的一半,稍后把同


加的这个数(一次项系数的一半)合并入完全平方公式,把同减的这个数并入常数。


(三)、二次函数的配方法


顶点式解析式就是用配方法推理出来的,见下例,可以进一步熟练掌握配方法。


七、二次函数中a、b、c的作用

(一)、二次函数中的a

a≠0,a不能等于0

a决定开口的方向及开口的大小,最简二次函数y=ax2中a是这种形式。.

增减性就是它的性质,不必硬背,看图形,都先从左边看起

当a>0时,在对称轴左侧是减函数,右侧是增函数,

当a<0时,在对称轴左侧是增函数,右侧是减函数。

(二)、二次函数中的b

特别要注意抛物线y=ax2+bx+c中 “b”的作用

(三)、二次函数中的C

c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.

当x=0时,y=c,∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,C)

① c=0,抛物线经过原点;

② c>0,与y轴交于正半轴;c<0

③c<0,与y轴交于负半轴。

八、怎样从一个式子中看出谁是二次函数的对称轴和顶点坐标?

(一)、什么是二次函数的对称轴?

是一条在直角坐标图中平行于y轴(垂直于x轴)的直线,它无非有三种情况,与y重合(x=y);在y左侧(如x=-1);在y右侧(如x=1)。

(二)、什么叫顶点坐标?

二次函数的图象是只有一单条条抛物曲线曲线,又叫曲线(反比例函数有两条曲线,一次函数是一条直线),它只存在开口向上和开口向下两种情况。这条曲线一头是一个无暇大的口子,一头是一个最大或最小的那一点,这一点就叫顶点。当a>0时,开口向上,有数值最小顶点,又叫最小值。当a<0时,开口向下,有数值最大顶点,又叫最大值。我们知道,二次函数抛物曲线是根据一个个的点描绘而成的,每一个点都可以用一个坐标(x,y)来表示。那顶点所在的坐标就叫顶点坐标。

(三)、怎样确定“对称轴”、“顶点坐标”?——“阅读顶点式直接读出法”

1、怎样读顶点式?

从顶点式y=a(x-h) 2+k如y=3(x-1)2+2中直接读出,式中的h就是“对称轴”,

“x=1”表示(可以画个图感觉一下)。式中的h和k就是“顶点坐标”。这里要注意 “顶点坐标”中的h,y=3(x-1)2+2中 h是+1而不是 -1。因为顶点式的公式本身就是y=a(x-h) 2+k,所以x=1,而不是-1

例如:

y=a(x-h) 2 +k,对称轴是h,而不是 -h,图象的顶点坐标是(h,k);
y=a(x+h) 2 +k, 因为y=a(x+h) 2 +k=y=a[x-(-h)] 2 +k,所以对称轴是-h,图象的顶点坐标是(-h,k)

y=2(x-6) 2 -3, 对称轴是6,图象的顶点坐标是(6, -3)

y=2(x+6) 2 -3,对称轴是-6,图象的顶点坐标是(-6,-3)

2、为了阅读顶点式的方便,怎样补缺少的字母便于阅读?

要注意补缺。顶点式公式的核心是h、k两个字母,缺了先补上再阅读就会能一目了然。

y=2x2-3变化为y=2(x -0)2 -3,对称轴是0,图象的顶点坐标是(0,-3)

y=2x2变化为y=2(x -0)2 + 0,对称轴是0,图象的顶点坐标是(0,0)

3、把一般式换成顶点式要注意什么?

用公式法先把h和k计算出来后再代入顶点式y=a(x-h) 2+k就行了。特别要注意既然用公式法,h、k就一定要统一通过计算得出,千万不能图省事只把h用公式算,而k就直接从y=ax2+bx+c中抄过来了事。因为在有一次项b的情况下,c和k不是一个数。如,y=2x2-24x+69有一次项b(-24),用公式把h、k计算出来后的式子是y=2(x-6)2-3,式子中的k是-3,而不是69,两个数不是一个数。像式子y=2 x2 -3中没有有一次项bx,要先变成:y=2 (x-0)2 -3,这里的c可以抄过来(将y=2 x2 -3代入公式k中验算后,k=-3)。

九、反映对称轴在哪一侧用口诀“左同右异”

(一)“左同右异”这句口诀是判断确定对称轴在何处的方法之一。

(二)、用顶点式y=a(x-h)2+k确定对称轴位置

当h为正数时,x=h,对称轴在右侧。如,y=3x2-6x+5,变化为

y=a(x-1)2+2,x=+1

当h为负数时,x=h,对称轴在左侧。如,y=3x2+6x+5变化为

y=a[x-(-1)]2+2,

y=a(x+1)2+2,x= -1

当h为0,x=h,对称轴与y重合,因而对称轴就是y轴。如,y=3x2+5变化为y=a(x-0)2+5,x=0


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