球面上的勾股定理的详细证明 勾股定理的证明方法

如图所示,在球面上,圆AB、BC为小圆,圆AC为大圆,圆AB与BC、BC与AC、AC与AB都只有一个交点,三个圆的法线(法线:垂直于圆所在的平面,且通过圆心的直线)皆在同一平面M内。

由于圆AB、BC、AC的法线皆在平面M内,且皆通过球心,则球心也在平面M内,所以平面M一定是大圆平面。设这个大圆为D。

由于法线皆垂直于圆,所以圆AB、BC、AC皆垂直于平面M。所以,圆AB、BC、AC都各自与平面M有两个交点。

由于圆AB、BC、AC上任意一点都在球面上,且与球心的距离都是半径,所以,圆AB、BC、AC与平面M的交点一定在大圆D上。

设圆AB与BC的交点为B、圆BC与AC的交点为C、圆AC与AB的交点为A,用直线连接A、B、C这三点,可以得到平面三角形ABC,根据以直径上的圆周角为直角的定理,三角形ABC一定为直角三角形。

所以直角三角形ABC三边的关系是:

(AB)^2+(BC)^2=(AC)^2(1)

球面角的大小是由两面角的大小决定的,所以,球面三角形ABC也显然为直角三角形。

由于平面直角三角形ABC的边长与π的积的一半为球面直角三角形ABC的对应边的边长(弧长),所以:

(0.5πAB)^2+(0.5πBC)^2=(0.5πAC)^2
球面上的勾股定理的详细证明 勾股定理的证明方法

也就是说,勾股定理在球面直角三角形中也是成立的。

经过简单证明可知,在球面上的局部的直角三角形中勾股定理都是成立的。

  

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